Question

15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-5≤0\\ x-2y+1≤0\\ x≥1\end{array}\right.$，若不等式y(tǒng)²-2xy≤ax²恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　�。�

• A． 8
• B． 3
• C． -1
• D． -6

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題，利用斜率的幾何意義以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象知，x≥1，
則不等式y(tǒng)²-2xy≤ax²恒成立，等價為a≥（$\frac{y}{x}$）²-2•（$\frac{y}{x}$），
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則（$\frac{y}{x}$）²-2•（$\frac{y}{x}$）=k²-2k=（k-1）²-1，
k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，
由圖象知OC的斜率最小，OA的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（1，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-5=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（3，2），
則OA的斜率k=4，OC的斜率k=$\frac{2}{3}$，
則$\frac{2}{3}$≤k≤4，
則當(dāng)k=4時，（k-1）²-1=9-1=8，
則（$\frac{y}{x}$）²-2•（$\frac{y}{x}$）的最大值為8，
則a≥8，
即a的最小值為8，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義以及不等式恒成立，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化求求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．