Question

8．已知點A（6，2），B（3，2），動點M滿足|MA|=2|MB|．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）設(shè)M的軌跡與y軸的交點為P，過P作斜率為k的直線l與M的軌跡交于另一點Q，若C（1，2k+2），求△CPQ面積的最大值，并求出此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），由|MA|=2|MB|，利用兩點之間的距離公式即可得出．
（2）令x=0，可得P（0，2）．直線l的方程為：y=kx+2，（k≠0）代入圓的方程可得：（1+k²）x²-4x=0，解出可得Q坐標，|PQ|．求出點C到直線l的距離d，△CPQ面積S=$\frac{1}{2}$|PQ|•d，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），∵|MA|=2|MB|，
∴$\sqrt{（x-6）^{2}+（y-2）^{2}}$=2$\sqrt{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}}$，
化為：（x-2）²+（y-2）²=4．
（2）令x=0，解得y=2，∴P（0，2）．
直線l的方程為：y=kx+2，（k≠0）代入圓的方程可得：（1+k²）x²-4x=0，
解得x=0，或x=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$．
∴Q$（\frac{4}{1+{k}^{2}}，\frac{4k}{1+{k}^{2}}+2）$．
∴|PQ|=$\sqrt{（\frac{4}{1+{k}^{2}}）^{2}+（\frac{4k}{1+{k}^{2}}+2-2）^{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
點C到直線l的距離d=$\frac{|k-（2k+2）+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴△CPQ面積S=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2|k|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{1}{|k|}+|k|}$≤$\frac{2}{2}$=1，當且僅當|k|=1時取等號．
∴△CPQ面積的最大值1時，此時直線l的方程為：y=±x+2．

點評 本題考查了圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓相交弦長問題、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)、兩點之間距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．