Question

16．已知點P（0，4），Q為圓x²+y²=8上的動點，當(dāng)Q在圓上運動時，PQ的中點M的運動軌跡為C，直線l：y=kx與軌跡C交于A，B兩點．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)E（m，n）是線段AB上的點，且$\frac{3}{{{{|{OE}|}^2}}}=\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$，請將n表示為m的函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求動點M的軌跡C的方程；
（2）直線l：y=kx與軌跡C聯(lián)立，可得（1+k²）x²-4kx+2=0，利用韋達(dá)定理及$\frac{3}{{{{|{OE}|}^2}}}=\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），Q（x₀，y₀），∵P（0，4），M為PQ的中點，
∴x₀=2x，y₀=2y-4，代入x₀²+y₀²=8，可得動點M的軌跡C的方程x²+（y-2）²=2；
（2）直線l：y=kx與軌跡C聯(lián)立，可得（1+k²）x²-4kx+2=0，
△=16k²-8（1+k²）＞0，可得k＜-1或k＞1，
設(shè)A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），n=mk，則x₁+x₂=$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$
∵$\frac{3}{{{{|{OE}|}^2}}}=\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$，
∴代入整理可得$\frac{3}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=3k²-1，
∵k＜-1或k＞1，∴-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$且m≠0，
∵n=mk，3n²-m²=3，E在圓C內(nèi)，n＞0，
∴n=$\frac{\sqrt{3{m}^{2}+9}}{3}$（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$且m≠0）．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．