Question

12．已知函數(shù)f（x）=a（x+1）²-4lnx，a∈R．
（1）若x=1是f（x）的極值點，求a的值；
（2）已知點P（0，1）和函數(shù)f（x）圖象上動點M（m，f（m）），對任意m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，求出a的值即可；
（2）因為對任意m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，所以問題轉化為導數(shù)值小于0恒成立的問題，對于導函數(shù)小于0在區(qū)間[1，e]上恒成立，則問題轉化為函數(shù)的最值問題，即函數(shù)f′（x）＜0恒成立，通過化簡最終轉化為f（m）＜1在區(qū)間[1，e]上恒成立，再通過研究f（x）在[1，e]上的單調性求最值，注意分類討論的標準的確定．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2a（x+1）-$\frac{4}{x}$，
若x=1是f（x）的極值點，
則f′（1）=4a-4=0，解得：a=1；
（2）∵對任意m∈[1，e]，直線PM的傾斜角都是鈍角，
∴對任意m∈[1，e]，直線PM的斜率小于0，即$\frac{f（m）-1}{m}$＜0，
∴f（m）＜1，即f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值小于1，
又因為f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+2ax-4}{x}$，
令g（x）=2ax²+2ax-4=2a${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{a}{2}$-4，x∈[1，e]，
①a≤0時，g（x）在[1，e]遞減，
g（x）_max=g（1）=4a-4＜0，
∴f（x）在[1，e]遞減，f（x）_max=f（1）=4a＜0＜1，
故a≤0時，符合題意；
②a＞0時，令g（x）=0，解得：x=$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$，
當$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$≤1即a≥$\frac{8}{3}$時，f（x）在[1，e]遞增，
f（x）_max=f（e）=a（e+1）²-4＜1，解得：a＜$\frac{5}{{（e+1）}^{2}}$，
當$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$≥e即0＜a≤$\frac{8}{{4e}^{2}-1}$時，
f（x）在[1，e]遞減，f（x）max=f（1）=4a-4＜1，
解得：a＜$\frac{5}{4}$，而$\frac{8}{{4e}^{2}-1}$＜$\frac{5}{4}$，故a≤$\frac{8}{{4e}^{2}-1}$，
當1＜$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$＜e時，f（x）在[1，$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$）遞減，在（$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$，e]遞增，
∴f（x）的最大值是f（1）或f（e），
綜上：a≤$\frac{8}{{4e}^{2}-1}$．

點評 本題重點考查不等式恒成立問題的基本思路，一般是轉化為函數(shù)的最值問題，然后從函數(shù)的單調性入手分析，注意本題第二問討論時的標準，一般要借助于函數(shù)圖象輔助來解決問題．一方面利用了數(shù)學結合思想，同時重點考查了分類討論思想的應用，有一定難度．