Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}{cos^2}x+sinxcosx$，
（1）若$f（a）=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，求a；
（2）如果關(guān)于x的方程|f（x）|=m在區(qū)間（0，π）上有兩個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)公式化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用正弦圖象，求α；
（2）如果關(guān)于x的方程|f（x）|=m，在區(qū)間（0，π）上有兩個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）解：y=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx
=$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}sin2x$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$six（2x+\frac{π}{3}）+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$f（a）=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，解得2$α+\frac{π}{3}$=2k$π+\frac{π}{6}$或2$α+\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，
$α=kπ-\frac{π}{12}$或$α=kπ+\frac{π}{4}$ （k∈Z）．
（2）畫出y=|f（x）|的圖象，再畫出y=m的圖象，   
結(jié)合圖象可知它們有兩個不同的交點的情況；
可得m=0，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)式的化簡求值，二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想，考查計算能力，屬于中檔題．