Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos（x+π）cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象按$\overrightarrow$=（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）平移后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和與差三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，然后求解f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用函數(shù)的圖象的平移變換求出新函數(shù)的解析式，然后求解相位的范圍，利用正弦函數(shù)的有界性求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos（x+π）cosx
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的圖象按$\overrightarrow$=（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）平移后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
可得$g（x）=f（x-\frac{π}{4}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$．
由$x∈[0，\frac{π}{4}]⇒2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，g（x）為增函數(shù)，
所以g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上的最大值為$g（\frac{π}{4}）=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．