Question

【題目】已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AB=4，AA1=2，點(diǎn)E1在棱C1D1上，且D1E1=3。

（I）在棱CD上確定一點(diǎn)E，使得直線EE1∥平面D1DB，并寫出證明過程；

（II）求證：平面A1ACC1⊥平面D1DB；

（III）若動(dòng)點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)，且AF=2，請說明點(diǎn)F的軌跡，試求E1F長度的最小值。

Answer 1

【答案】（1）DE=3，見解析（2）見解析(3)

【解析】

試題（1）在DC上取點(diǎn)E，使DE=3,根據(jù)平幾知識(shí)可得DEE1D1為平行四邊形，即得EE1∥DD1.再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)長方體性質(zhì)得AA1⊥DB.再結(jié)合正方形性質(zhì)得AC⊥DB，根據(jù)線面垂直判定定理得DB⊥平面A1ACC1.，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論，(3)由圓的定義可得點(diǎn)F的軌跡，注意軌跡范圍，根據(jù)勾股定理得E1F取最小值時(shí)EF取最小值.再根據(jù)圓的性質(zhì)求最值.

試題解析：證明：（I）在DC上取點(diǎn)E，使DE=3，此時(shí)直線EE1∥平面D1DB.

證明如下：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DE∥D1E1，且DE=D1E1，

所以四邊形DEE1D1為平行四邊形.

所以EE1∥DD1.

又DD1平面D1DB，EE1平面D1DB，

所以直線EE1∥平面D1DB.

（Ⅱ）在正方形ABCD中，AC⊥DB，

又AA1⊥底面ABCD，DB底面ABCD，

所以AA1⊥DB.

又AA1AC=A，

所以DB⊥平面A1ACC1.

又DB平面D1DB，

所以平面A1ACC1⊥平面D1DB.

（III）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)F在正方形內(nèi)，且AF=2，

所以點(diǎn)F的軌跡為以A為圓心，2為半徑，在正方形ABCD內(nèi)的個(gè)圓周。

由題意知，直線EE1⊥平面ABCD，所以EE1⊥EF，故E1F取最小值，即EF取最小值.

所以當(dāng)A，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線時(shí)，EF長度最小，即E1F長度最小，

此時(shí)AE=，

E1F=.

所以E1F的最小值為.