已知函數(shù)，且在處的切線方程為.

（1）求的解析式；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，恒有；

（3）證明：若，，且，則.

 

【答案】

（1）.（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求方程；（2）構(gòu)造新函數(shù)用導(dǎo)數(shù)法求解；

試題解析：（1）∵，∴切線斜率，

∴在處的切線方程為，

即.           （4分）

（2）令，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，∴，

故，即.            （8分）

（3）先求在處的切線方程，由（1）得，

故在處的切線方程為，

即，  （10分）

下面證明，

令，

∵

，

∴時(shí)，，時(shí)，，∴，

∴，       （12分）

∵，∴，

，

∴.         （14分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式的證明.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-cx+d在x=±1處取得極值，且與直線y=-3x+1切于點(diǎn)（0，f（0）），求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-x2-3x，g（x）=ax2-3x+b，（a，b∈R，且a≠0，b≠0）．滿足f（x）與g（x）的圖象在x=x0處有相同的切線l．
（I）若a=
1
2
，求切線l的方程；
（II）已知m＜x0＜n，記切線l的方程為：y=k（x），當(dāng)x∈（m，n）且x≠x0時(shí)，總有[f（x）-k（x）]•[g（x）-k（x）]＞0，則稱f（x）與g（x）在區(qū)間（m，n）上“內(nèi)切”，若f（x）與g（x）在區(qū)間（-3，5）上“內(nèi)切”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江西省南昌二中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-cx+d在x=±1處取得極值，且與直線y=-3x+1切于點(diǎn)（0，f（0）），求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省2010-2011學(xué)年高三一診模擬（文科） 題型：選擇題

已知函數(shù)，若它們的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線重

合，則切斜線率為（    ）

   A．0             B．12           C．0或12           D．4或1

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c(x∈R)的圖像與直線15x-y+10=0切于點(diǎn)(-1，-5)，且函數(shù)f(x)在x=4處取得極值．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)求f(x)的極值；

(Ⅲ)當(dāng)x∈[-m，m]時(shí)，求f(x)最大值．

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