Question

4．正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=2，則該四棱錐外接球的表面積為8π．

Answer 1

分析 先畫出圖形，正四棱錐外接球的球心在它的底面的中心，然后根據(jù)勾股定理解出球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式即可求解．

解答 解：如圖，設(shè)正四棱錐底面的中心為O₁，設(shè)外接球的球心為O，
則O在正四棱錐的高PO上．
在直角三角形ABC中，AC=2$\sqrt{2}$，
AO₁=$\sqrt{2}$，則高PO₁=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
則OO₁=PO₁-R=$\sqrt{2}$-R，OA=R，
在直角三角形AO₁O中，R²=（$\sqrt{2}$-R）²+（$\sqrt{2}$）²，
解得R=$\sqrt{2}$，即O與O₁重合，
即正四棱錐外接球的球心是它的底面的中心O₁，且球半徑R=$\sqrt{2}$，
球的表面積S=4πR²=8π，
故答案為8π．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查球的表面積，考查計(jì)算能力和空間想象能力，屬于中檔題．