Question

13．為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見(jiàn)》，某校計(jì)劃開(kāi)設(shè)八門(mén)研學(xué)旅行課程，并對(duì)全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查（調(diào)查要求全員參與，每個(gè)學(xué)生必須從八門(mén)課程中選出唯一一門(mén)課程）．本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下．圖中，已知課程A，B，C，D，E為人文類(lèi)課程，課程F，G，H為自然科學(xué)類(lèi)課程．為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向，結(jié)合圖表，采取分層抽樣方法從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“組M”）．

（Ⅰ）在“組M”中，選擇人文類(lèi)課程和自然科學(xué)類(lèi)課程的人數(shù)各有多少？
（Ⅱ）為參加某地舉辦的自然科學(xué)營(yíng)活動(dòng)，從“組M”所有選擇自然科學(xué)類(lèi)課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往，其中選擇課程F或課程H的同學(xué)參加本次活動(dòng)，費(fèi)用為每人1500元，選擇課程G的同學(xué)參加，費(fèi)用為每人2000元．
（�。┰O(shè)隨機(jī)變量X表示選出的4名同學(xué)中選擇課程G的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；
（ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量Y表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營(yíng)的費(fèi)用總和，求隨機(jī)變量Y的期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．
（Ⅱ）（�。┮李}意，隨機(jī)變量X可取0，1，2．利用“超幾何分布列的計(jì)算公式與性質(zhì)”即可得出．
（ⅱ）法1：依題意，隨機(jī)變量Y=2000X+1500（4-X），可得隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為E（Y）
=6000+500E（X）．
（ⅱ）法2：依題意，隨機(jī)變量Y可取6000，6500，7000．求出隨機(jī)變量Y的分布列，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）選擇人文類(lèi)課程的人數(shù)為（100+200+400+200+300）×1%=12（人）；
選擇自然科學(xué)類(lèi)課程的人數(shù)為（300+200+300）×1%=8（人）．
（Ⅱ）（�。┮李}意，隨機(jī)變量X可取0，1，2.$p（X=0）=\frac{C_6^4C_2^0}{C_8^4}=\frac{3}{14}$；$p（X=1）=\frac{C_6^3C_2^1}{C_8^4}=\frac{4}{7}$；$p（X=2）=\frac{C_6^2C_2^2}{C_8^4}=\frac{3}{14}$．
故隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2
p	$\frac{3}{14}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{3}{14}$

（ⅱ）法1：依題意，隨機(jī)變量Y=2000X+1500（4-X）=6000+500X，
所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為
E（Y）=6000+500E（X）
=6000+500（$0×\frac{3}{14}+1×\frac{4}{7}+2×\frac{3}{14}$）
=6500．
（ⅱ）法2：依題意，隨機(jī)變量Y可取6000，6500，7000．
所以隨機(jī)變量Y的分布列為

Y	6000	6500	7000
p	$\frac{3}{14}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{3}{14}$

所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為
E（Y）=$6000×\frac{3}{14}+6500×\frac{4}{7}+7000×\frac{3}{14}$=6500．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、超幾何分布列的計(jì)算公式與性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．