Question

定圓M：(x+

3

)2+y2=16，動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)F(

3

，0)且與圓M相切，記圓心N的軌跡為E．
（I）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B，C在E上運(yùn)動(dòng)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且|AC|=|CB|，當(dāng)△ABC的面積最小時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）因?yàn)閨NM|+|NF|=4＞|FM|，所以點(diǎn)N的軌跡E為橢圓，且2a=4，c=

3

，所以b=1，從而可求求軌跡E的方程；
（Ⅱ）分類(lèi)討論，直線AB的方程為y=kx，代入橢圓方程，求出|OA|，|OC|，可得S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|，利用基本不等式求最值，即可求直線AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)F(

3

，0)在圓M：(x+

3

)2+y2=16內(nèi)，所以圓N內(nèi)切于圓M，因?yàn)閨NM|+|NF|=4＞|FM|，所以點(diǎn)N的軌跡E為橢圓，且2a=4，c=

3

，所以b=1，所以軌跡E的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）（i）當(dāng)AB為長(zhǎng)軸（或短軸）時(shí)，依題意知，點(diǎn)C就是橢圓的上下頂點(diǎn)（或左右頂點(diǎn)），
此時(shí)S△ABC=

1

2

×|OC|×|AB|=2．…（5分）
（ii）當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其斜率為k，直線AB的方程為y=kx，
聯(lián)立方程

x2 4 +y2=1 y=kx

得

x

2 A

=

4

1+4k2

，

y

2 A

=

4k2

1+4k2

，
所以|OA|²=

x

2 A

+

y

2 A

=

4(1+k2)

1+4k2

．…（7分）
由|AC|=|CB|知，△ABC為等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，OC⊥AB，所以直線OC的方程為y=-

1

k

x，
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 k x

解得

x

2 C

=

4k2

k2+4

，

y

2 C

=

4

k2+4

，|OC|2=

4(1+k2)

k2+4

，…（9分）
S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=

4(1+k2) 1+4k2

×

4(1+k2) k2+4

=

4(1+k2)

(1+4k2)(k2+4)

，
由于

(1+4k2)(k2+4)

≤

(1+4k2)+(k2+4)

2

=

5(1+k2)

2

，所以S△ABC≥

8

5

，…（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)1+4k²=k²+4，即k=±1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)△ABC面積的最小值是

8

5

，
因?yàn)?span id="kun9e1v" class="MathJye">2＞

8

5

，所以△ABC面積的最小值為

8

5

，此時(shí)直線AB的方程為y=x或y=-x．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．