Question

已知橢圓C兩焦點坐標分別為F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），一個頂點為A（0，-1）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，滿足|AM|=|AN|．若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據橢圓C兩焦點坐標和一個頂點A（0，-1）．因此可設橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．得到c，b，再利用a²=b²+c²即可．
（II）假設存在這樣的直線l．設直線l的方程為y=kx+m，與橢圓的方程聯立可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，得到△＞0．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN中點為P（x₀，y₀），得到根與系數的關系，再利用中點坐標公式可得P的坐標．由于|AM|=|AN|，可得AP⊥MN，于是k_AP•k=-1即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C兩焦點坐標分別為F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），一個頂點為A（0，-1）．
∴可設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∴c=

2

，b=1，
∴a²=b²+c²=3．
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）存在這樣的直線l．
設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程化為（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0
∵△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）得3k²-m²+1＞0…①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN中點為P（x₀，y₀），
則x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

．
于是x₀=-

3km

1+3k2

，y₀=kx₀+m=

m

1+3k2

．
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
若m=0，則直線l過原點，P（0，0），不合題意．
若m≠0，由k≠0得，k_AP•k=-1得到

y0+1

x0

•k=-1，整理得2m=3k²+1…②
由①②知，k²＜1，∴-1＜k＜1．
又k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、中點坐標公式、相互垂直的直線與斜率之間的關系等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．