Question

12．已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）和點(diǎn)B（2，-2）且圓心C在直線l：x+3y+3=0上．
（1）求圓C的方程．
（2）若P是直線3x+4y-21=0上的動(dòng)點(diǎn)，PM，PN是圓C的兩條切線，M，N為切點(diǎn)，設(shè)|PC|=t，把四邊形PMCN的面積S表示為t的函數(shù)，并求出該函數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，求出圓心坐標(biāo)，即可求圓C的方程．
（2）利用勾股定理求出PM，即可求出S，t的最小值為C到直線的距離，即可求出該函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）設(shè)圓心為（-3a-3，a），則（-3a-3-1）²+（a-1）²=（-3a-3-2）²+（a+2）²，∴a=-1，
∴圓C的方程為x²+（y+1）²=5；
（2）PM=$\sqrt{{t}^{2}-5}$，∴S=2×$\frac{1}{2}×PM×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}•\sqrt{{t}^{2}-5}$，
t的最小值為C到直線的距離，即d=$\frac{|0-4-21|}{5}$=5，
∴S的最小值=$\sqrt{5}•\sqrt{25-5}$=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查四邊形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．