Question

1．如圖，在四棱錐A-BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M為AD上一點，EM⊥平面ACD．
（Ⅰ）證明：EM∥平面ABC；
（Ⅱ）若CD=2，求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取線段AC的中點F，連接BF．通過BF⊥AC，CD⊥BF，證明BF⊥平面ACD，推出EM∥BF，然后證明EM∥平面ABC．
（Ⅱ）連接MF，證明BE∥平面ACD，推出BE∥MF，證明四邊形BEMF為平行四邊形，然后證明CD⊥AB，推出AB⊥平面BCDE，求解棱錐的底面面積，求解幾何體的體積．

解答 （Ⅰ）證明：取線段AC的中點F，連接BF．
因為AB=BC，所以BF⊥AC，
因為CD⊥平面ABC，所以CD⊥BF，又AC∩CD=C，所以BF⊥平面ACD，
因為EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，又EM?平面ABC，BF?平面ABC，
所以EM∥平面ABC．
（Ⅱ）解：連接MF，因為BE∥CD，BE?平面ACD，CD?平面ACD，所以BE∥平面ACD，
又平面BEMF∩平面ACD=MF，所以BE∥MF，
由（Ⅰ）知EM∥BF，所以四邊形BEMF為平行四邊形，所以BE=MF．
因為F是AC的中點，所以M是AD的中點，
所以$BE=MF=\frac{1}{2}CD=1$．
因為CD⊥平面ABC，所以CD⊥AB，
又BC⊥AB，所以AB⊥平面BCDE，
所以四棱錐A-BCDE的體積${V_{A-BCDE}}=\frac{1}{3}{S_{BCDE}}•AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×2×2=2$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．