Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{a+1}{2}{x^2}+ax-1$，$g（x）=\frac{1}{2}（a-4）{x^2}$，其中a≥1．
（Ⅰ）f（x）在（0，2）上的值域?yàn)椋╯，t），求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a≥3，對(duì)于區(qū)間[2，3]上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁、x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=x²-（a+1）x+a，令f′（x）=0得x₁=1，x₂=a，由題意函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）無最值，知f（x）在（0，2）上要么有兩個(gè)極值點(diǎn)或者沒有極值點(diǎn)，即可求a的取值范圍；
（Ⅱ）不妨設(shè)2≤x₁＜x₂≤3，由（Ⅰ）知：當(dāng)a≥3時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，3]上恒單調(diào)遞減，有|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），分類討論，構(gòu)造函數(shù)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-（a+1）x+a，令f′（x）=0得x₁=1，x₂=a，…（1分）
依題意函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）無最值，
知f（x）在（0，2）上要么有兩個(gè)極值點(diǎn)或者沒有極值點(diǎn)，
知1≤a＜2，…（3分）$f（1）=\frac{1}{3}-\frac{a+1}{2}+a-1=\frac{a}{2}-\frac{7}{6}$，$f（a）=\frac{1}{3}{a^3}-\frac{a+1}{2}{a^2}+{a^2}-1$，f（0）=-1，$f（2）=\frac{8}{3}-2（a+1）+2a-1=-\frac{1}{3}$，
（i）若a=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上恒單調(diào)遞增，顯然符合題意；…（4分）
（ii）若1＜a＜2時(shí)，有$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）＜f（2）}\\{f（a）＞f（0）}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}-\frac{7}{6}＜-\frac{1}{3}}\\{\frac{1}{3}{a^3}-\frac{a+1}{2}{a^2}+{a^2}-1＞-1}\end{array}}\right.$，$\left\{{\begin{array}{l}{a＜\frac{5}{3}}\\{a＜3}\end{array}}\right.$，
得$1＜a＜\frac{5}{3}$；
綜上有$1≤a＜\frac{5}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）不妨設(shè)2≤x₁＜x₂≤3，
由（Ⅰ）知：當(dāng)a≥3時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，3]上恒單調(diào)遞減，
有|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），…（7分）
（i）若3≤a≤4時(shí)，$g（x）=\frac{1}{2}（a-4）{x^2}$在區(qū)間[2，3]上恒單調(diào)遞減，|g（x₁）-g（x₂）|=g（x₁）-g（x₂），
則|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等價(jià)于f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），
令函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），
由F（x₁）＞F（x₂）知F（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞減，F(xiàn)′（x）=x²-（a+1）x+a-（a-4）x=x²-（2a-3）x+a，
當(dāng)a≥3時(shí)，x²-（2a-3）x+a≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{2^2}-2×（2a-3）+a≤0\\{3^2}-3×（2a-3）+a≤0\end{array}\right.$，求得$\frac{18}{5}≤a≤4$；…（10分）
（ii）若a＞4時(shí)，$g（x）=\frac{1}{2}（a-4）{x^2}$單調(diào)遞增，|g（x₁）-g（x₂）|=g（x₂）-g（x₁），
則|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等價(jià)于f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
令函數(shù)G（x）=f（x）+g（x），
由G（x₁）＞G（x₂）知G（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞減，
有G′（x）=x²-（a+1）x+a+（a-4）x=x²-5x+a≤0，
故當(dāng)2≤x≤3時(shí)，x²-5x+a≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}4-10+a≤0\\ 9-15+a≤0\end{array}\right.$，求得4＜a≤6，
由（i）（ii）得$\frac{18}{5}≤a≤6$．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，有難度．