Question

3．已知{a_n}數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，滿足${a_n}+{a_{n-1}}=n•{（-1）^{\frac{n（n+1）}{2}}}（n∈N，n≥2）$，S₂₀₁₇=-1006-b，且a₁b＞0，則$\frac{1}{a_1}+\frac{4}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 ${a_n}+{a_{n-1}}=n•{（-1）^{\frac{n（n+1）}{2}}}（n∈N，n≥2）$，可得a_2k+a_2k+1=（2k+1）•（-1）^{（2k+1）（k+1）}=（2k+1）•（-1）^k+1．于是S₂₀₁₇=a₁+3-5+7-9+…+2015-2017=a₁-1008=-1006-b，可得a₁+b=2．且a₁b＞0，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵${a_n}+{a_{n-1}}=n•{（-1）^{\frac{n（n+1）}{2}}}（n∈N，n≥2）$，
∴a_2k+a_2k+1=（2k+1）•（-1）^{（2k+1）（k+1）}=（2k+1）•（-1）^k+1．
∴S₂₀₁₇=a₁+3-5+7-9+…+2015-2017=a₁-2×504=a₁-1008=-1006-b，
∴a₁+b=2．且a₁b＞0，
則$\frac{1}{a_1}+\frac{4}$=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+b）$$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{4}）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{{a}_{1}}+\frac{4{a}_{1}}）$≥$\frac{1}{2}（5+2\sqrt{4}）$=$\frac{9}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a₁=$\frac{4}{3}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、分組求和、基本不等式性質(zhì)、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．