12.已知雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$上有不共線三點A,B,C,且AB,BC,AC的中點分別為D,E,F(xiàn),若滿足OD,OE,OF的斜率之和為-1,則$\frac{1}{{{k_{AB}}}}+\frac{1}{{{k_{BC}}}}+\frac{1}{{{k_{AC}}}}$=( 。
A.2B.$-\sqrt{3}$C.-2D.3

分析 設A((x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),則x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$,$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1$得$\frac{({x}_{1}-{x}_{2})({x}_{1}+{x}_{2})}{4}=\frac{({y}_{1}-{y}_{2})({y}_{1}+{y}_{2})}{2}$,即可得$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}=2×\frac{2{y}_{0}}{2{x}_{0}}=2\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$,$\frac{1}{{k}_{AB}}=2{k}_{OD}$.同理可得$\frac{1}{{k}_{BC}}=2{k}_{OE},\frac{1}{{k}_{AC}}=2{k}_{OF}$.即可.

解答 解:設A((x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),則x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$,$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1$得$\frac{({x}_{1}-{x}_{2})({x}_{1}+{x}_{2})}{4}=\frac{({y}_{1}-{y}_{2})({y}_{1}+{y}_{2})}{2}$,
∴$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}=2×\frac{2{y}_{0}}{2{x}_{0}}=2\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$,∴$\frac{1}{{k}_{AB}}=2{k}_{OD}$.
同理可得$\frac{1}{{k}_{BC}}=2{k}_{OE},\frac{1}{{k}_{AC}}=2{k}_{OF}$.
∴$\frac{1}{{{k_{AB}}}}+\frac{1}{{{k_{BC}}}}+\frac{1}{{{k_{AC}}}}$=2(kOD+kOE+kOF)=-2=-2.
故選:C.

點評 本題考查了雙曲線的方程、性質,考查了中點弦問題的設而不求思想,屬于中檔題.

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