Question

11．設(shè)實數(shù)x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$
（1）求$u=\frac{y}{x}$的取值范圍；
（2）求z=x²+y²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)約束條件畫出可行域，根據(jù)$u=\frac{y}{x}$的幾何意義求最值，
（2）根據(jù)z=x²+y²的幾何意義是可行域上的點到原點距離的平方，即可求出最值．

解答 解：（1）滿足y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$
約束條件的平面區(qū)域如圖所示，A（1，2），B（4，2），C（3，1），
（1）$u=\frac{y}{x}$的幾何意義可行域上的點是到原點的斜率；
當(dāng)直線為OA時，u有最大值為2；
當(dāng)直線為OC時，u有最小值為$\frac{1}{3}$；所以，$u∈[\frac{1}{3}，2]$
（2）z=x²+y²的幾何意義是可行域上的點到原點距離的平方；z=x²+y²的最大值為|OB|²=20，
最小值為O到直線AC的距離的平方，為5；
所以，z∈[5，20]

點評 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點、定出最優(yōu)解．