Question

2．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為1-3sin²θ=$\frac{2}{{p}^{2}}$．
（1）求直線l的傾斜角和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程可得，進(jìn)而得到傾斜角．曲線C的極坐標(biāo)方程為1-3sin²θ=$\frac{2}{{p}^{2}}$，即ρ²-3ρ²sin²θ=2，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立化為5x²-24x+26=0，利用|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程為y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
∴其斜率為$\sqrt{3}$．
設(shè)傾斜角為α，則tanα=$\sqrt{3}$，α∈[0，π）．
∴$α=\frac{π}{3}$．
∴直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$．
曲線C的極坐標(biāo)方程為1-3sin²θ=$\frac{2}{{p}^{2}}$，即ρ²-3ρ²sin²θ=2，可得直角坐標(biāo)方程為：x²-2y²=2．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}}\\{{x}^{2}-2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為5x²-24x+26=0，可得x₁+x₂=$\frac{24}{4}$，x₁x₂=$\frac{26}{5}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=2$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}-4×\frac{26}{5}}$=$\frac{4\sqrt{14}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)求值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．