Question

10．在△ABC中，A=50°，AB=2，且△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則BC的長為$\sqrt{4+\frac{3}{4si{n}^{2}50}-\frac{2\sqrt{3}cos50°}{sin50°}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的面積公式，代入題中數(shù)據(jù)算出AC，再根據(jù)余弦定理加以計算，可得BC的值．

解答 解：∵A=50°，AB=2，
∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sin50°=$\frac{1}{2}×2×AC×sin50°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：AC=$\frac{\sqrt{3}}{2sin50°}$，
根據(jù)余弦定理，得
BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA=4+（$\frac{\sqrt{3}}{2sin50°}$）²-2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2sin50°}$×cos50°=4+$\frac{3}{4si{n}^{2}50°}$-$\frac{2\sqrt{3}cos50°}{sin50°}$，
∴BC=$\sqrt{4+\frac{3}{4si{n}^{2}50}-\frac{2\sqrt{3}cos50°}{sin50°}}$．
故答案為：$\sqrt{4+\frac{3}{4si{n}^{2}50}-\frac{2\sqrt{3}cos50°}{sin50°}}$．

點評 本題給出三角形的一邊、一角，在已知面積的情況下求另一邊長．著重考查了余弦定理、三角形的面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．