Question

7．函數f（x）=$sinx•cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}x（0＜x＜\frac{π}{3}）$的值域是（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]．

Answer 1

分析 推導出f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，由此能求出函數f（x）=$sinx•cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}x（0＜x＜\frac{π}{3}）$的值域．

解答 解：f（x）=sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²x=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（1-cos2x）
=$\frac{1}{2}sin2x$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∵0＜x＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]，
∴函數f（x）=$sinx•cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}x（0＜x＜\frac{π}{3}）$的值域是（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]．
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]．

點評 本題考查三角函數值的值域的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數性質的合理運用．