Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-2x+2，對于滿足1＜x＜4的一切x值都有f（x）＞0，則實數(shù)a的取值范圍為$（{\frac{1}{2}，+∞}）$．

Answer 1

分析 分離參數(shù)法表達出a的表達式，對函數(shù)配方，根據(jù)x的范圍，從而確定a的范圍．

解答 解：∵滿足1＜x＜4的一切x值，都有f（x）=ax²-2x+2＞0恒成立，可知a≠0
∴a＞$\frac{2（x-1）}{{x}^{2}}$=2[$\frac{1}{4}$-（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²]，滿足1＜x＜4的一切x值恒成立，
∵$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{x}$＜1，
∴2[$\frac{1}{4}$-（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²]∈（0，$\frac{1}{2}$]，
實數(shù)a的取值范圍為：$（{\frac{1}{2}，+∞}）$．
故答案為：$（{\frac{1}{2}，+∞}）$．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．