Question

17．已知焦點為F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0）的橢圓過點P（$\sqrt{2}$，1），A是直線PF₁與橢圓的另一個交點，則三角形PAF₂的周長是（　�。�

• A． .6
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 由題意可知：焦點在x軸上，c=$\sqrt{2}$，則設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-2}=1$（a＞$\sqrt{2}$），將P（$\sqrt{2}$，1），代入可得：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}-2}=1$，解得：a²=4，橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，則三角形PAF₂的周長l=丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨AF₁丨+丨AF₂丨=4a=8．

解答 解：由題意可知：焦點在x軸上，c=$\sqrt{2}$，則設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-2}=1$（a＞$\sqrt{2}$），
將P（$\sqrt{2}$，1），代入可得：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}-2}=1$，解得：a²=4，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
由丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，丨AF₁丨+丨AF₂丨=2a，
∴三角形PAF₂的周長l=丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨AF₁丨+丨AF₂丨=4a=8
∴三角形PAF₂的周長4a=8，
故選B．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的簡單幾何性質，考查焦點三角形的周長公式，屬于基礎題．