Question

17．已知tanα=$\frac{1}{7}$，cosβ=$\frac{3}{{\sqrt{10}}}$，且α，β都是銳角，則α+2β=arctan$\frac{13}{16}$．

Answer 1

分析 依題意，可求得tan2β=$\frac{3}{5}$，0＜2α＜$\frac{π}{4}$；利用兩角和的正切與正切函數(shù)的單調(diào)性即可求得2α+β的值．

解答 解：∵cosβ=$\frac{3}{{\sqrt{10}}}$，可得：tanβ=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}β}-1}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan2β=$\frac{2tanβ}{1+ta{n}^{2}β}$=$\frac{3}{5}$＜1=tan$\frac{π}{4}$，
又β是銳角，y=tanx在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴0＜2β＜$\frac{π}{4}$；
又∵tanα=$\frac{1}{7}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanαtan2β}$=$\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{5}}{1-\frac{1}{7}×\frac{3}{5}}$=$\frac{13}{16}$．
∴α+2β∈（0，$\frac{3π}{4}$），
∴2α+β=arctan$\frac{13}{16}$．
故答案為：arctan$\frac{13}{16}$．

點評 本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，考查正切函數(shù)的單調(diào)性，考查求解運算能力，屬于中檔題．