Question

9．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足5a₁+4a₂=a₃，且a₁a₂=a₃
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₅a_n，且S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求數(shù)列的{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：5a₁+4a₁q=a₁q²，解得：q=5，由a₁•a₁q=a₁q²，代入即可求得a₁=5，根據(jù)等比數(shù)列通項公式，即可數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知b_n=log₅a_n=n，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求得S_n，利用“裂項法”求得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用累加法即可求得數(shù)列的{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由題意可知：等比數(shù)列{a_n}的公比為q，q＞0，
由5a₁+4a₂=a₃，即5a₁+4a₁q=a₁q²，
整理得：q²-4q-5=0，解得：q=5或q=-1（舍去），
a₁a₂=a₃，a₁•a₁q=a₁q²，
解得：a₁=5，
a_n=a₁qⁿ=5ⁿ；
數(shù)列{a_n}的通項公式，a_n=5ⁿ；
（2）b_n=log₅a_n=n，
S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
數(shù)列的{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和T_n，
T_n=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$，
數(shù)列的{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和T_n，T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查等比數(shù)列通項公式，等差數(shù)列前n項和公式，“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．