Question

過原點(diǎn)的直線交雙曲線 于P，Q兩點(diǎn)，現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿直線y= -x折成直二面角，則折后PQ長度的最小值等于

A．

B．4

C．

D．

Answer 1

B

解析試題分析：∵雙曲線是等軸雙曲線，以直線y=±x為漸近線

∴將雙曲線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°角，可得雙曲線的圖象
∵雙曲線的頂點(diǎn)（，0），逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°
變?yōu)辄c(diǎn)（，）
∴點(diǎn)（，）在的圖象上，可得m=，
即雙曲線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°角，得到雙曲線的圖象
問題轉(zhuǎn)化為：過原點(diǎn)的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)
將坐標(biāo)平面沿直線y軸折成直二面角，求折后線段PQ的長度的最小值
設(shè)P（t，）（t＞0），過點(diǎn)P作PM⊥y軸于M，連結(jié)MQ，
可得M（0，），Q（-t，-），
|MQ|==，在折疊后的圖形中，Rt△PMQ中，|PM|=t，
得|PQ|²=|PM|²+|MQ|²=≥=16，
當(dāng)且僅當(dāng)t²=4，即t=2時等號成立，
∴當(dāng)t=2時，即P坐標(biāo)為（2，）時，|PQ|的最小值為=4．
綜上所述，折后線段PQ的長度的最小值等于4，故選B．
考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離公式、面面垂直的性質(zhì)、勾股定理，基本不等式求最值，邏輯推理能力，運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想