Question

15．（1）當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]時，求函數(shù)y=3-sin x-2cos²x的最大值．
（2）已知5sinβ=sin（2α+β），tan（α+β）=$\frac{9}{4}$，求tanα

Answer 1

分析 （1）由題意可得sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，利用同角平方關(guān)系對已知函數(shù)進行化簡，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最大值．
（2）根據(jù)題意，利用2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-α，化簡5sinβ=sin（2α+β），再結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求出tanα的值．

解答 解：（1）∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
則y=3-sinx-2cos²x=3-sinx-2（1-sin²x）=2sin²x-sinx+1
=2（sinx-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，
∴由二次函數(shù)性質(zhì)可知當sinx=1或-$\frac{1}{2}$時，y取最大值2．
（2）∵5sinβ=sin（2α+β），
∴sin[（α+β）+α]=5sin[（α+β）-α]，
即sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=5sin（α+β）cosα-5cos（α+β）sinα，
∴4sin（α+β）cosα=6cos（α+β）sinα，
∴4tan（α+β）=6tanα，
∴tanα=$\frac{2}{3}$tan（α+β）=$\frac{2}{3}×\frac{9}{4}=\frac{3}{2}$．

點評 本題考查正三角函數(shù)的最值，涉及配方法和二次函數(shù)的值域，考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，是中檔題．