Question

2．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等邊三角形，直線$x+y+2\sqrt{2}-1=0$與以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點B，C，D是橢圓上不同于橢圓頂點的三點，點B與點D關于原點O對稱．設直線CD，CB，OB，OC的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，且k₁k₂=k₃k₄．
（�。┣髃₁k₂的值；
（ⅱ）求OB²+OC²的值．

Answer 1

分析 （1）設橢圓C的右焦點F₂（c，0），則c²=a²-b²（c＞0），以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半 軸長為半徑的圓的方程為（x-c）²+y²=a²，圓心到直線$x+y+2\sqrt{2}-1=0$的距離d=$\frac{|c+2\sqrt{2}-1|}{\sqrt{2}}$=a，由此利用橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等邊三角形，能求出橢圓方程．
（Ⅱ）（i）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則D（-x₁，-y₁），由此能求出k₁k₂的值．
（ii）由k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，得y₁y₂=-$\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$，從而${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=4$，${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=3，由此能求出OB²+OC² 的值．

解答 解：（1）設橢圓C的右焦點F₂（c，0），則c²=a²-b²（c＞0），
由題意，以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半 軸長為半徑的圓的方程為（x-c）²+y²=a²，
∴圓心到直線$x+y+2\sqrt{2}-1=0$的距離 
d=$\frac{|c+2\sqrt{2}-1|}{\sqrt{2}}$=a，（*），
∵橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等邊三角形，
∴b=$\sqrt{3}c$，a=2c，代入（*）式得c=1，b=$\sqrt{3}$，a=2，
故所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）（i）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則D（-x₁，-y₁），
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}（4-{{x}_{2}}^{2}）-\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$．
（ii）由（i）知，k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，故y₁y₂=-$\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$． 
∴$\frac{9}{16}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}={{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{3}{4}（4-{{x}_{2}}^{2}）-\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）$，
即${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$=16-4（${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$）+${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$，∴${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=4$． 
又2=（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$）+（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$）=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4}$，故${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=3． 
∴OB²+OC²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=7．

點評 本題考查方程的求法，考查兩直線的斜率之積的求法，考查兩線段的平方和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．