Question

19．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，且對任意正數(shù)x，y都滿足f（x+y）=f（x）f（y），且當(dāng)x＞1時，f（x）＞2，f（2）=4．則f（x²）＞2f（x+1）的解為{x|x＞2}．

Answer 1

分析 求出f（1）=2，f（x）是定義在（1，+∞）上的增函數(shù)，即可解不等式．

解答 解：∵f（x+y）=f（x）f（y），f（2）=4
∴f（2）=f（1）f（1）=4，
∵f（1）=f（$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）≥0，
∴f（1）=2，
∵當(dāng)x＞1時，f（x）＞2，
∴當(dāng)x＞1時，f（x）＞f（1），
∴f（x）是定義在（1，+∞）上的增函數(shù)，
∵f（x²）＞2f（x+1），
∴f（x²）＞f（x+2），
∴x²＞x+2，
∵x＞0，∴x＞2．
故答案為{x|x＞2}．

點評 本題考查解抽象函數(shù)不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．