Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x-asinx-1（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≥0對(duì)一切x∈[0，1]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到f′（0），再求出f（0），利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）≥0對(duì)一切x∈[0，1]恒成立，然后對(duì)a分類討論可得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x-sinx-1，f′（x）=e^x-cosx，
∴f′（0）=0，又f（0）=0，
∴y-0=0（x-0），即y=0．
∴a=1時(shí)，f（x）在x=0處的切線方程為y=0；
（Ⅱ）f′（x）=e^x-acosx，若a≤0，則f′（x）≥0對(duì)一切x∈[0，1]恒成立，
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴f（x）≥f（0）=0，符合題意；
若0＜a≤1，f′（x）=e^x-acosx，由0≤x≤1知，0＜acosx≤a，e^x≥1．
∴f′（x）＞0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴f（x）≥f（0）=0，符合題意；
若a＞1，由y=e^x與y=acosx的圖象的位置關(guān)系知，
存在x₀∈（0，1），當(dāng)0＜x＜x₀ 時(shí)，e^x＜acosx，
此時(shí)f′（x）＜0，f（x）在[0，x₀]上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜x＜x₀ 時(shí)，f（x）＜f（0）=0．與題意矛盾．
綜上，a的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查恒成立問(wèn)題的求解方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．