Question

18．如圖（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB邊上一點(diǎn)，沿CD將圖形折疊成圖（2），使得二面角B-CD-A是直二面角．

（1）若D是AB邊的中點(diǎn)，求二面角C-AB-D的大小；
（2）若AD=2BD，求點(diǎn)B到平面ACD的距離；
（3）是否存在一點(diǎn)D，使得二面角C-AB-D是直二面角？若存在，求$\frac{BD}{AD}$的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）取AB中點(diǎn)M，連結(jié)CM，DM，則∠CMD為所求二面角的平面角，計(jì)算出△CDM的邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出∠CMD；
（2）利用在余弦定理求出∠BCD，則B到平面ACD的距離為BC•sin∠BCD；
（3）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)$\frac{BD}{AD}=λ$，B到平面ACD的距離為h，求出$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{CM}$，計(jì)算$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CM}$是否為0即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在圖（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=$\sqrt{2}$．
當(dāng)D為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，AD=BD=CD=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且CD⊥AB．
在圖（2）中取AB的中點(diǎn)M，
連結(jié)DM，CM．
∵CA=CB=1，AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AB=1，
∴DM=$\frac{1}{2}$，CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且CM⊥AB，DM⊥AB．
∴∠CMD為二面角C-AB-D的平面角．
在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD=$\frac{D{M}^{2}+C{M}^{2}-C{D}^{2}}{2DM•CM}$=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}{2•\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角C-AB-D的大小為arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）在圖（1）中，當(dāng)AD=2BD時(shí)，BD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
在△BCD中，由余弦定理得：CD=$\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}-2BD•BCcos45°}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠DBC}=\frac{BD}{sin∠BCD}$，
∴sin∠BCD=$\frac{BD•sin∠DBC}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
在圖（2）中，
∵二面角B-CD-A是直二面角，
∴∠BCD為BC與平面ACD所成的角，
∴點(diǎn)B到平面ACD的距離為
BC•sin∠BCD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）設(shè)$\frac{BD}{AD}$=λ（λ＞0），則AD=$\frac{\sqrt{2}}{λ+1}$，BD=$\frac{\sqrt{2}λ}{λ+1}$．
在平面ACD中過(guò)A作AC的垂線Ay，過(guò)A作平面ACD的垂線Az，
以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示：
設(shè)B到平面ACD的距離為h，
則A（0，0，0），C（1，0，0），D（$\frac{1}{λ+1}$，$\frac{1}{λ+1}$，0），B（$\frac{1}{λ+1}$，$\frac{1}{λ+1}$，h）．
設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M（$\frac{1}{2λ+2}$，$\frac{1}{2λ+2}$，$\frac{h}{2}$），∴$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{-2λ-1}{2λ+2}$，$\frac{1}{2λ+2}$，$\frac{h}{2}$），
$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{1}{λ+1}$，$\frac{1}{λ+1}$，0）．
∵CA=CB，M為AB的中點(diǎn)，∴CM⊥AB，
假設(shè)二面角C-AB-D是直二面角，則CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．
∵$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{-2λ-1}{2λ+2}$•$\frac{1}{λ+1}$+$\frac{1}{2λ+2}$$•\frac{1}{λ+1}$+0=$\frac{-λ}{（λ+1）^{2}}$≠0．與CM⊥AD矛盾．
∴不存在一點(diǎn)D，使得二面角C-AB-D是直二面角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間角，空間距離的計(jì)算，面面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．