Question

18．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的雙曲線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)$P（3，\sqrt{5}）$，離心率為$\sqrt{2}$．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)C的左頂點(diǎn)A引C的一條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)l，求直線(xiàn)l與另一條漸近線(xiàn)及x軸圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）確定雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為x²-y²=a²，代入$P（3，\sqrt{5}）$得a²=4，即可求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，求出直線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)，然后求出三角形的面積．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，則$\frac{a}=\frac{{\sqrt{{c^2}-{a^2}}}}{a}=\sqrt{{e^2}-1}=1$--（2分）
∴a=b，故雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±x，----------（4分）
將x=3代入y=x得$y=3＞\sqrt{5}$，
故雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，--------（6分）
設(shè)其方程為x²-y²=a²，代入$P（3，\sqrt{5}）$得a²=4，
故所求雙曲線(xiàn)方程為x²-y²=4．----------（8分）
（2）雙曲線(xiàn)x²-y²=4的左頂點(diǎn)A（-2，0），漸近線(xiàn)方程為y=±x
過(guò)點(diǎn)A與漸近線(xiàn)y=x平行的直線(xiàn)方程為y=x+2，--------（10分）
它與雙曲線(xiàn)的另一漸近線(xiàn)y=-x交于M（-1，1）
∴所求三角形的面積為.$S=\frac{1}{2}|{OA}|{y_M}=\frac{1}{2}×2×1=1$---------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查計(jì)算能力．