Question

18．已知a，b為常數(shù)，設(shè)f（x）=ax²+|x-b|+1．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，寫出函數(shù)x的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，①試討論函數(shù)f（x）的奇偶性；②求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x-b|+1，寫出函數(shù)x的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；
（2）①可知f（-x）=x²+|x+b|+1，從而可知若函數(shù)為偶函數(shù)，則|x+b|=|x-b|，從而解得，說明b≠0時(shí)的情況即可；
②化簡(jiǎn)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-b+\frac{3}{4}，x≥b}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+b+\frac{3}{4}，x＜b}\end{array}\right.$；從而分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最小值．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x-b|+1，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（b，+∞）；單調(diào)減區(qū)間（-∞，b）；
（2）①∵f（x）=x²+|x-b|+1，
∴f（-x）=x²+|x+b|+1，
若函數(shù)為偶函數(shù)，
|x+b|=|x-b|，
解得，b=0；
當(dāng)b≠0時(shí)，x²+|x-b|+1≠x²+|x+b|+1，
故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；
當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
②f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-b+\frac{3}{4}，x≥b}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+b+\frac{3}{4}，x＜b}\end{array}\right.$；
當(dāng)b＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（-∞，b）上是減函數(shù)，故f（x）＞f（b）=b²+1；
在（b，-$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
故f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
故f（x）有最小值f（-$\frac{1}{2}$）=-b+$\frac{3}{4}$；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤b≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（-∞，b）上是減函數(shù)，在（b，+∞）上是增函數(shù)；
故f（x）有最小值f（b）=b²+1；
當(dāng)b$＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
故f（x）有最小值f（$\frac{1}{2}$）=b+$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)與分段函數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，化簡(jiǎn)與判斷都比較困難，屬于中檔題．