Question

在公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=-12，且a₈，₉，a₁₁依次成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的公差；
（Ⅱ）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求S_n的最小值，并求出此時(shí)的n值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a₁=-12，(a1+8d)2=(a1+7d)(a1+10d)，由此能求出數(shù)列{a_n}的公差d．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=-12n+n（n-1）=n²-13n=（n-

13

2

）²-

169

4

，由此能求出S_n的最小值及此時(shí)的n值．

解答： 解：（Ⅰ）∵公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，
a₁=-12，且a₈，₉，a₁₁依次成等差數(shù)列，
∴(a1+8d)2=(a1+7d)(a1+10d)，
整理，得a₁=-6d，解得d=2．
∴數(shù)列{a_n}的公差d=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=-12n+n（n-1）=n²-13n，
∵n²-13n=（n-

13

2

）²-

169

4

，且n∈N₊，
∴當(dāng)n=6或n=7時(shí)，
S_n取最小值S₆=S₇=-42．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的公差的求法，考查S_n的最小值及此時(shí)的n值的求法，解題時(shí)要注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．