Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求滿足不等式

Tn-2

2n-1

≥128的最小n值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運用等比數(shù)列的公式性質(zhì)求解，
（2）運用求和公式列出來，再用錯位相減的方法求出數(shù)列的和，最后解不等式確定n的范圍，及最小值．

解答： 解：（1）因為S_n=2a_n-n，
所以Sn-1=2an-1-(n-1)，(n≥2，n∈N*)，
兩式相減得a_n=2a_n-1+1，
所以an+1=2(an-1+1)，(n≥2，n∈N*)，
又因為a₁+1=2，所以{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以an+1=2n，所以an=2n-1．
（2）因為b_n=（2n+1）a_n+2n+1，
所以bn=(2n+1)•2n
可以得到：Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)•2n-1+(2n+1)•2n，①
2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1，②
①-②得：-Tn=3×2+2(22+23+ …+2n)-(2n+1)•2n+1
=6+2×

22-2n×2

1-2

-(2n+1)•2n+1
=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
所以Tn=2+(2n-1)•2n+1
若

Tn-2

2n-1

≥128，
則

2+(2n-1)•2n+1-2

2n-1

≥128，
即2^n+1，所以n+1≥7，解得n≥6，
所以滿足不等式

Tn-2

2n-1

≥128，的最小n值6，

點評：本題考查了數(shù)列的概念公式，錯位相減求和，綜合不等式解決問題．