【題目】對(duì)于函數(shù),若存在實(shí)數(shù)滿足,且,則稱的一個(gè)點(diǎn).

(1)證明:函數(shù)不存在點(diǎn);

(2)若函數(shù)存在點(diǎn),求的范圍;

(3)已知函數(shù),證明:存在正實(shí)數(shù),對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意一個(gè)皆是函數(shù)點(diǎn).

【答案】(1)詳見解析;(2);(3)詳見解析.

【解析】

(1)通過證明證得命題成立.(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求得最小值,由此證得上恒成立.然后分成兩種情況討論,由此求得的取值范圍.(3),利用導(dǎo)數(shù)證明所取正實(shí)數(shù)符合題意.

(1)證明:因?yàn)?/span>恒成立,

所以,不存在實(shí)數(shù)滿足

故不存在點(diǎn)

(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=,

函數(shù)F(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),

=0,得:x=1,

x

(0,1)

1

(1,+∞)

0

F(x)

x=1是F(x)的唯一極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),

所以,F(xiàn)(x)min=F(1)=0,即F(x)≥0恒成立,

所以,在定義域(0,+∞)內(nèi),x0-1≥lnx0恒成立,

當(dāng)x0≥1時(shí),|x0-1|=x0-1,|lnx0|=lnx0

因?yàn)閤0-1≥lnx0恒成立,所以,|x0-1|≥|lnx0|恒成立,的一個(gè)點(diǎn).

當(dāng)0<x0<1時(shí),|x0-1|=-(x0-1),|lnx0|=-lnx0,

由x0-1≥lnx0,得:-(x0-1)≤-lnx0,即|x0-1|≤|lnx0|,此時(shí)不是的一個(gè)點(diǎn).

所以,的取值范圍為[1,+∞).

(3)證明:取,因?yàn)?/span>,所以,下面證明所取正實(shí)數(shù)符合題意.當(dāng)時(shí),,有,且顯然成了又因?yàn)楫?dāng)時(shí),有,所以 .故當(dāng)時(shí),恒成立,即存在正實(shí)數(shù),對(duì)于區(qū)間內(nèi)任一個(gè)皆是函數(shù)點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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