Question

18．關于曲線C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1的下列說法正確的有①②④⑤．
①關于原點對稱；
②關于直線x+y=0對稱；
③是封閉圖形，面積大于2π；
④不是封閉圖形，與圓x²+y²=2無公共點；
⑤與曲線D：|x|+|y|=2$\sqrt{2}$有且只有四個公共點．

Answer 1

分析 分析關于原點對稱的兩個點（x，y）點（-x，-y），是否都在曲線上，可判斷①；分析關于直線y=-x對稱的兩個點（x，y）點（-y，-x），是否都在曲線上，可判斷②； 聯(lián)立方程，可判斷③④⑤．

解答 解：將方程中的x換成-x，y換成-y方程不變，所以曲線C關于原點對稱，故①正確；
將方程中的x換成-y，y換成-x，方程變?yōu)?\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1與原方程相同，故②正確；
不是封閉圖形，與坐標軸沒有交點，故③不正確；
④曲線C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1與圓x²+y²=2聯(lián)立，無解，所以與圓x²+y²=2無公共點，正確；
⑤x＞0，y＞0時，曲線D：x+y=2$\sqrt{2}$與曲線C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1只有一個公共點（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），根據(jù)對稱性，可得與曲線D：|x|+|y|=2$\sqrt{2}$有且只有四個公共點，正確．
故答案為：①②④⑤．
故答案為：①②④⑤．

點評 本題考查的知識點是曲線C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1的圖象和性質，對稱性的判斷，面積的求解，難度中檔．