Question

9．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1-3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}的公差為d，得到$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=4（2{a}_{1}+d）}\\{{a}_{1}+（2n-1）d=2（{a}_{1}+nd）-3}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）利用遞推關(guān)系即可得出得a_nb_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求出．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，則有$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=4（2{a}_{1}+d）}\\{{a}_{1}+（2n-1）d=2（{a}_{1}+nd）-3}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
（2）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，①
當(dāng)n=1時，a₁b₁=$\frac{1}{2}$，
∴b₁=$\frac{1}{2}$
當(dāng)n≥2時，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=3-$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$，②
①式減去②式得$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
求得b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，易知n=1也成立，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
其前n項和T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$

點評 本題考查了遞推公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．