Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{4-|{ax-2}|}（{a≠0}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，求解絕對值的不等式，進(jìn)一步分類求解含參數(shù)的不等式得答案；
（2）把不等式f（x）≥1恒成立轉(zhuǎn)化為|ax-2|≤3，記g（x）=|ax-2|，可得$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≤3}\\{g（1）≤3}\end{array}\right.$，求解不等式組得答案．

解答 解：（1）要使原函數(shù)有意義，則|ax-2|≤4，即-4≤ax-2≤4，得-2≤ax≤6，
當(dāng)a＞0時(shí)，解得$-\frac{2}{a}≤x≤\frac{6}{a}$，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?\left\{{x|-\frac{2}{a}≤x≤\frac{6}{a}}\right\}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，解得$\frac{6}{a}≤x≤-\frac{2}{a}$，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?\left\{{x|\frac{6}{a}≤x≤-\frac{2}{a}}\right\}$．
（2）f（x）≥1?|ax-2|≤3，記g（x）=|ax-2|，
∵x∈[0，1]，∴需且只需$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≤3}\\{g（1）≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2≤3}\\{|a-2|≤3}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤5，
又a≠0，∴-1≤a≤5，且a≠0．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了含有參數(shù)的不等式的解法，是中檔題．