Question

9．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AB的中點，F(xiàn)在CC₁上，且CF=2FC₁，點P是側(cè)面AA₁D₁D（包括邊界）上一動點，且PB₁∥平面DEF，則tan∠ABP的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• B． [0，1]
• C． [$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{10}}{3}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{13}}{3}$]

Answer 1

分析 如圖所示，作出平面MNQB₁∥平面DEF，AQ₁=2AQ，DN₁=2ND，P的軌跡是線段QN，P在Q處，tan∠ABP=$\frac{1}{3}$，P在N處，tan∠ABP=$\frac{\sqrt{4+9}}{3}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示，作出平面MNQB₁∥平面DEF，則AQ₁=2AQ，DN₁=2ND，
∵PB₁∥平面DEF，∴P的軌跡是線段QN．
P在Q處，tan∠ABP=$\frac{1}{3}$，P在N處，tan∠ABP=$\frac{\sqrt{4+9}}{3}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
故選D．

點評 本題考查線面、面面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．