Question

11．已知函數(shù)f（x）=x|x-2|，則不等式f（2-ln（x+1））＞f（3）的解集為{x|-1＜x＜$\frac{1}{e}$-1}．

Answer 1

分析 由題意，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，x＜2}\end{array}\right.$，在（2，+∞）單調(diào)遞增，x＜2，f（x）_max=1＜f（3）=3．f（2-ln（x+1））＞f（3）化為2-ln（x+1）＞3，即可解不等式．

解答 解：由題意，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，x＜2}\end{array}\right.$，在（2，+∞）單調(diào)遞增，
x＜2，f（x）_max=1＜f（3）=3．
∵f（2-ln（x+1））＞f（3），∴2-ln（x+1）＞3，
∴l(xiāng)n（x+1）＜-1，∴0＜x+1＜$\frac{1}{e}$，
∴-1＜x＜$\frac{1}{e}$-1，
∴不等式f（2-ln（x+1））＞f（3）的解集為{x|-1＜x＜$\frac{1}{e}$-1}，
故答案為{x|-1＜x＜$\frac{1}{e}$-1}．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了其他不等式的解法，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式的解法解出x的范圍，此知識(shí)點(diǎn)是高考考查的重點(diǎn)之一．