Question

7．已知a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x-b|的最小值為1．
（1）證明：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）的解析式，判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出f（x）的最小值化簡即可得出結(jié)論；
（2）分離參數(shù)得t≤$\frac{a+2b}{ab}$，把2a+b=2代入不等式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得出$\frac{a+2b}{ab}$的最小值，從而得出t的范圍．

解答 解：（1）證明：令x+a=0得x=-a，令2x-b=0得x=$\frac{2}$，
∵a＞0，b＞0，∴-a$＜\frac{2}$，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-a+b，x≤-a}\\{-x+a+b，-a＜x＜\frac{2}}\\{3x+a-b，x≥\frac{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{2}$]上單調(diào)遞減，在（$\frac{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（$\frac{2}$）=a+$\frac{2}$=1，2a+b=2；
（2）∵a+2b≥tab恒成立，∴t≤$\frac{a+2b}{ab}$恒成立，
∵2a+b=2，∴a+$\frac{1}{2}$b=1，
∴$\frac{a+2b}{ab}$=$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$=$\frac{a+\frac{1}{2}b}$+$\frac{2a+b}{a}$=$\frac{5}{2}$+$\frac{a}+\frac{a}$≥$\frac{5}{2}+2$=$\frac{9}{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）
∴$\frac{a+2b}{ab}$的最小值為$\frac{9}{2}$，
∴t$≤\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與最值計算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．