Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在軸上，長軸長是短軸

長的2倍，且經(jīng)過點M. 平行于OM的直線在軸上的截距為并交橢

圓C于A、B兩個不同點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求的取值范圍；

y

（3）求證：直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）見解析

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的總額和運用。

（1）設(shè)橢圓C的標準方程為

（＞＞0）

由題意，結(jié)合性質(zhì)得到參數(shù)a,b的值

（2）

設(shè)：由

聯(lián)立方程組，然后根據(jù)判別式大于零得到m的范圍。

（3）設(shè)，則、為（）式的兩根，

設(shè)MA交軸于點P，MB交軸于點Q

       MA的方程為：

令，可得P（）=

同理得到點Q的坐標，然后結(jié)合中點公式，得到并證明。

解：（1）設(shè)橢圓C的標準方程為

（＞＞0）

由題意

解得

C的方程為              ………………4分

（2）

設(shè)：由

消去得 

直線與橢圓有兩個不同的交點

式有兩個不等實根

則＞0

解得＜＜2     又

的取值范圍為          ………………8分

（3）設(shè)，則、為（）式的兩根，

設(shè)MA交軸于點P，MB交軸于點Q

       MA的方程為：

令，可得P（）=

同理可得Q

設(shè)PQ的中點為N，則

由②知

又

MPQ的中線MNPQ

MPQ為等腰三角形                     ………………12分

注：其他正確解法請按步驟酌情給分。