【題目】設(shè)直線與函數(shù)的圖像恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).求出所有這樣的直線方程.
【答案】
【解析】
顯然,直線與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn).于是,
設(shè)直線方程為.將其代入,
得. ①
方程①恰有兩個(gè)不同實(shí)根,有如下3種情形:
(1),
其中,、、、,,且.
(2),其中,、,且.
(3),其中,、,且.
對(duì)于(1),可設(shè),
其中,,.
展開(kāi)比較系數(shù)得,,,.
由前兩個(gè)方程得,,代入,,得
.
所以,.
故
則,.
直線方程為,
其中,實(shí)數(shù)、滿足.
比如,取,則;取,則,.因此,直線方程為.
此時(shí),方程①為.
對(duì)于(2),可設(shè),其中,.
在(1)的方程組中令,,得,,,.
解得,,,.
因此,直線方程為.
對(duì)于(3),展開(kāi)比較系數(shù)得,,,.
由前兩個(gè)方程得,.解得.
注意到,,,
于是,.
此時(shí),直線方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)途車站P與地鐵站O的距離為千米,從地鐵站O出發(fā)有兩條道路l1,l2,經(jīng)測(cè)量,l1,l2的夾角為45°,OP與l1的夾角滿足tan=(其中0<θ<),現(xiàn)要經(jīng)過(guò)P修條直路分別與道路l1,l2交匯于A,B兩點(diǎn),并在A,B處設(shè)立公共自行車停放點(diǎn).
(1)已知修建道路PA,PB的單位造價(jià)分別為2m元/千米和m元/千米,若兩段道路的總造價(jià)相等,求此時(shí)點(diǎn)A,B之間的距離;
(2)考慮環(huán)境因素,需要對(duì)OA,OB段道路進(jìn)行翻修,OA,OB段的翻修單價(jià)分別為n元/千米和n元/千米,要使兩段道路的翻修總價(jià)最少,試確定A,B點(diǎn)的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)求l的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若l與C相交于A,B兩點(diǎn),且,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn) ,兩個(gè)焦點(diǎn)為(,0),(,0).
(1)求橢圓的方程;
(2)求以點(diǎn) 為中點(diǎn)的弦所在的直線方程,并求此時(shí)的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上,的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:
3 | 2 | 4 | ||
0 | 4 |
(Ⅰ)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)請(qǐng)問(wèn)是否存在直線滿足條件:①過(guò)的焦點(diǎn);②與交不同兩點(diǎn)且滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽,選手從6道備選題中隨機(jī)抽取3道題.規(guī)定至少答對(duì)其中的2道題才能晉級(jí).甲選手只能答對(duì)其中的4道題。
(1)求甲選手能晉級(jí)的概率;
(2)若乙選手每題能答對(duì)的概率都是,且每題答對(duì)與否互不影響,用數(shù)學(xué)期望分析比較甲、乙兩選手的答題水平。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),是的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證;
(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得對(duì)一切恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】不期而至的新冠肺炎疫情,牽動(dòng)了億萬(wàn)國(guó)人的心,全國(guó)各地紛紛捐贈(zèng)物資馳援武漢.有一批捐贈(zèng)物資需要通過(guò)輪船沿長(zhǎng)江運(yùn)送至武漢,已知該運(yùn)送物資的輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比,已知當(dāng)速度為10海里/時(shí)時(shí),燃料費(fèi)是6元/時(shí),而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是96元/時(shí),問(wèn)當(dāng)輪船的速度是多少時(shí),航行1海里所需的費(fèi)用總和最?
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