Question

12．已知球O是的棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球，則平面ACD₁截球O的截面面積為（　�。�

• A． π
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 平面ACD₁是邊長(zhǎng)為 $\sqrt{2}$的正三角形，且球與與以點(diǎn)D為公共點(diǎn)的三個(gè)面的切點(diǎn)恰為三角形ACD₁三邊的中點(diǎn)，從而得到所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，由此能求出結(jié)果．

解答 解：根據(jù)題意知，平面ACD₁是邊長(zhǎng)為 $\sqrt{2}$的正三角形，
且球與與以點(diǎn)D為公共點(diǎn)的三個(gè)面的切點(diǎn)恰為三角形ACD₁三邊的中點(diǎn)，
故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，
則由圖得，△ACD₁內(nèi)切圓的半徑是$\frac{\sqrt{2}}{2}$×tan30°=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
則所求的截面圓的面積是π×$\frac{\sqrt{6}}{6}$×$\frac{\sqrt{6}}{6}$=$\frac{π}{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面截球的截面面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意球、正方體的性質(zhì)及構(gòu)造法的合理應(yīng)用．