Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=$\frac{g（x）}{f（x）}$在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（2）若在[1，+∞）上不等式xf（x-1）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，即可求函數(shù)y=$\frac{g（x）}{f（x）}$在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)G（x）=a（x²-x）-lnx，且G（1）=0，分類(lèi)討論，即可，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=$\frac{g（x）}{f（x）}$=$\frac{lnx}{x}$，
∴y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴x=1時(shí)，y′=1，
∴函數(shù)y=$\frac{g（x）}{f（x）}$在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=x-1；
（2）設(shè)函數(shù)G（x）=a（x²-x）-lnx，且G（1）=0．
G′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$
①當(dāng)a≤0時(shí)，有G（2）=2a-ln2＜0，不成立，
②當(dāng)a＜0時(shí)，（i）a≥1時(shí)，G′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$，當(dāng)x≥1時(shí)，G′（x）≥0
所以G（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，所以G（x）≥G（1）=0
（ii）0＜a＜1時(shí)，設(shè)h（x）=2ax²-ax-1，h（1）=a-1＜0，
所以存在x₀，使得x∈（1，₀）時(shí)，h（x）＜0，∴G′（x）＜0，G（x）＜G（1）=0不成立
綜上所述a≥1．

點(diǎn)評(píng) 考查基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，商的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)單調(diào)性定義，構(gòu)造函數(shù)的方法．