Question

若存在正實數(shù)M，對于任意x∈（1，+∞），都有|f（x）|≤M，則稱函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是有界函數(shù)．下列函數(shù)：①f（x）=

1

x-1

；②f（x）=

x

x2+1

；③f（x）=

lnx

x

；④f（x）=xsinx，其中“在（1，+∞）上是有界函數(shù)”的序號為

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分析求出當x∈（1，+∞）時，給定四個函數(shù)的值域，進而判斷是否存在正實數(shù)M，對于任意x∈（1，+∞），都有|f（x）|≤M，進而可得結(jié)論．

解答： 解：當x∈（1，+∞）時，
f（x）=

1

x-1

∈（0，+∞），不存在滿足|f（x）|≤M恒成立的M的值，故①不是“在（1，+∞）上是有界函數(shù)”；
f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

∈（0，

1

2

），任意M≥

1

2

，|f（x）|≤M均恒成立，故②是“在（1，+∞）上是有界函數(shù)”；
f（x）=

lnx

x

∈（0，

1

e

]，任意M≥

1

e

，|f（x）|≤M均恒成立，故③是“在（1，+∞）上是有界函數(shù)”；
f（x）=xsinx∈（-∞，+∞），不存在滿足|f（x）|≤M恒成立的M的值，故④不是“在（1，+∞）上是有界函數(shù)”；
綜上“在（1，+∞）上是有界函數(shù)”的序號為②③，
故答案為：②③

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的值域，函數(shù)的有界性，熟練掌握求函數(shù)值域的方法是解答的關(guān)鍵．