Question

11．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的方程為ρ=-2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ．
（1）分別求曲線C₁的極坐標(biāo)方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l交曲線C₁于O、A兩點，直線l交曲線C₂于O、B兩點，求|AB|的長．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系化為普通方程：x²+（y-1）²=1，展開代入互化公式可得極坐標(biāo)方程．曲線C₂的方程為ρ=-2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=ρ（-2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），可得普通方程：y=-$\sqrt{3}$x，可得極坐標(biāo)方程：θ=$\frac{2π}{3}$（ρ∈R）．分別代入極坐標(biāo)方程即可得出，|AB|=|OB|-|OA|．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為普通方程：x²+（y-1）²=1，展開可得：x²+y²-2y=0，可得極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
曲線C₂的方程為ρ=-2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=ρ（-2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ），化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=-2x+2$\sqrt{3}$y．
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），可得普通方程：y=-$\sqrt{3}$x，可得極坐標(biāo)方程：θ=$\frac{2π}{3}$（ρ∈R）．
∴|OA|=2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，|OB|=-2cos$\frac{2π}{3}$+2$\sqrt{3}$sin$\frac{2π}{3}$=$-2×（-\frac{1}{2}）$+$2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4，
∴|AB|=|OB|-|OA|=4-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．