Question

有下列四個命題：
①

a

與

b

的夾角為銳角的充要條件是

a

•

b

＞0．
②?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
③?a∈（0，1）∪（1，+∞），函數(shù)f（x）=a^1-2x+1都恒過定點(

1

2

，2)；
④方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D²+E²-4F≥0；
其中正確命題的序號是

②③

．（將正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①若非零向量

a

與

b

的夾角為銳角，則一定有

a

•

b

＞0，；反之，滿足

a

•

b

＞0的

a

與

b

同向共線時，其

a

與

b

夾角為0°，卻不是銳角，故可以判斷①真假．
②取x=y=0時，可以判斷出②的真假．
③當x=

1

2

時，其函數(shù)值f（

1

2

）=2與a無關，故可以判斷函數(shù)f（x）=a^1-2x+1都恒過定點(

1

2

，2)，由此可以判斷③真假．
④方程x²+y²+Dx+Ey+F=0經(jīng)配方可化為：(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-4F

4

，有此式可以判斷出方程x²+y²+Dx+Ey+F=0何時表示圓，進而可知④的真假．

解答：解：①若非零向量

a

與

b

的夾角為銳角，則

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞＞0；反之，當

a

與

b

同向共線時，滿足

a

•

b

＞0，則向量

a

與

b

夾角為0°，卻不是銳角，故①是假命題．
②當x=y=0時，該等式成立，故②是真命題．
③當x=

1

2

時，f（

1

2

）=2，，故對于?a∈（0，1）∪（1，+∞），函數(shù)f（x）=a^1-2x+1都恒過定點(

1

2

，2)，因此③是真命題；
④方程x²+y²+Dx+Ey+F=0經(jīng)配方可化為：(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-4F

4

，只有當D²+E²-4F＞0時，方程x²+y²+Dx+Ey+F=0才表示圓，而當D²+E²-4F=0時該方程表示點（-

D

2

，-

E

2

）．故④是假命題．
故答案為②③．

點評：本題主要考查向量夾角公式、全稱命題與特稱命題、指數(shù)函數(shù)類型的圖象過定點問題、圓的一般方程何時表示圓，解決問題的關鍵是準確掌握有關基礎知識．