Question

9．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且x＜0時2f（x）+xf'（x）＜0恒成立，則a=f（1），b=2014f（$\sqrt{2014}$），c=2015f（$\sqrt{2015}$）的大小關(guān)系為（　　）

• A． c＜b＜a
• B． c＜a＜b
• C． a＜c＜b
• D． a＜b＜c

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，先確定函數(shù)y=x²f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意：當(dāng)x＜0時，2f（x）+xf'（x）＜0恒成立，
可得：2xf（x）+x²f'（x）＞0恒成立．
構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞0，
∴g（x）=x²f（x）在（-∞，0）上單調(diào)增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，函數(shù)g（x）單調(diào)增函數(shù)．
那么：a=f（1）=g（1），g（$\sqrt{2014}$）=2014²f（$\sqrt{2014}$）=b，g（$\sqrt{2015}$）=2015²f（$\sqrt{2015}$）=c．
∵g（1）＜g（$\sqrt{2014}$）＜g（$\sqrt{2015}$）．
∴c＞b＞a；
故選D．

點評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)的奇偶性構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．